Wzór na ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego jest szczególnym rodzajem ciągu liczb naturalnych. Jest on o tyle ciekawy, gdyż jest obecny w wielu dziedzinach. Często występuje w naturze, stosowany był w literaturze czy muzyce, jest spotykany na rynkach giełdowych.

Ciąg Fibonacciego - co to takiego?

Jego historia sięga 1202 roku, kiedy to Leonard z Pizy, zwany Fibonaccim, przestawił ciąg jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików w swoim dziele Liber abaci. Ciąg przyjął nazwę "ciągu Fibonacciego" dopiero w XIX wieku, za sprawą Édouarda Lucasa.

Z definicji ciąg Fibonacciego to taki ciąg liczbowy, w którym pierwszy wyraz jest równy 0, drugi 1, a każdy kolejny jest sumą dwóch poprzednich. Niektórzy jednak nie wliczają zera do elementów ciągu, jest to kwestia umowna.

Ciąg Fibonacciego - WZÓR

Wzór ogólny ciągu można przedstawić rekurencyjnie. Jest to pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju. Przyjmijmy oznaczenie Fn dla n-tego wyrazu ciągu. Zapis formalny będzie wtedy wyglądał następująco:

embed

Początkowe wartości tego ciągu wynoszą: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Każdy z wyrazów ciągu Fibonacciego nazywamy liczbą Fibonacciego.

Z ciągiem Fibonacciego jest związane pojęcie liczby złotego podziału. Biorąc każdy kolejny wyraz ciągu (za wyjątkiem pierwszych dwóch wyrazów: zera i jedynki) i dzieląc go przez jego poprzednik otrzymamy iloraz bliski liczbie 1,618. Jest to tak zwana liczba złotego podziału. Im dalszy wyraz ciągu, tym odchylenie od tej wartości jest mniejsze. Przy n dążącym do nieskończoności granica ciągu wynosi dokładnie:

embed
Copyright © Agora SA