Trygonometria w matematyce. Co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Trygonometria: wzory funkcji trygonometrycznych i ich zastosowanie

Czym dokładnie zajmuje się trygonometria? Wzory na obliczenie takich wartości, jak sinus, cosinus, tangens i cotangens przydają się w wielu aspektach. Trygonometria jest wykorzystywana do wykonywania wszelkich pomiarów na powierzchni ziemi (np. wysokość góry lub drzewa, szerokość rzeki), znajduje zastosowanie także m.in. podczas tworzenia gier komputerowych oraz urządzeń nawigacyjnych. Podstawowe pojęcia związane z trygonometrią to "sinus", "cosinus", "tangens" i "cotangens". Są to funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Jak można je zdefiniować?

• sinus kąta ostrego α (sin α) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α (a) do długości przeciwprostokątnej kąta α (c ). Wzór na sinus znajduje się poniżej:

sin α = a/c

• cosinus kąta ostrego (cos α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej kąta α. Wzór na cosinus to:

cos α = b/c

• tangens kąta ostrego α (tg α) to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α (a) do długości drugiej przyprostokątnej (b). Wzór na tangens to:

tg (α) = a/b

• cotangens kąta ostrego α (ctg α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α (b) do długości drugiej przyprostokątnej (a). Wzór na cotangens znajduje się poniżej:

ctg (α) = b/a  

Istnieją pewne zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Jakie?

• sin²α + cos²α = 1 (tzw. jedynka trygonometryczna)
• tg α  x ctg α = 1
• tg α = sin α/cos α, przy czym cos α musi być różne od 0
• ctg α = cos α/sin α, przy czym sin α musi być różne od 0

Trygonometria: tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o kątach 30°,60° i 90°

Znamy już wzory na wszystkie funkcje trygonometryczne oraz wiemy, gdzie zastosowanie ma trygonometria. Tabela z wartościami funkcji trygonometrycznych dla najczęściej występujących kątów ostrych, to kolejne zagadnienie, które warto poznać. Dla przypomnienia — kąt ostry to kąt, którego miara znajduje się w przedziale większym niż 0 stopni i mniejszym niż 90°(90°to wartość kąta prostego). Przyjrzyjmy się, jak obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 30°i dla kąta 60°.

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 30°i kąta 60° w trójkącie prostokątnym wygląda następująco:

Wartość przyprostokątnej leżącej przy kącie 30° wynosi [(a√3)/2] (jest to wzór na wysokość trójkąta równoramiennego o boku a). Wartość przeciwprostokątnej względem kąta 30° wynosi a/2. Długość boku trójkąta wynosi a. Zgodnie z powyższym:

• sin kąta 30° = [(a/2)/2] = ½
• cos kąta 30° = {[(a√3)/2]}/2 = (√3)/2
• tg kąta 30°= [(a/2)/(a√3)/2] = (√3)/3
• ctg kąta 30° = [(a√3)/2]/(a/2)] = √3

Wartość przyprostokątnej leżącej przy kącie 60° jest równa a/2, natomiast przeciwprostokątna obliczana jest według wzoru [(a√3)/2]. Zgodnie z tymi założeniami:

• sin kąta 60° = [(a√3)/2]/a = (√3)/2
• cos kąta 60°= [(a/2)/a] = ½
• tg kąta 60°= [(a√3)/2]/[(a/2)] = √3
• ctg kąta 60°= [(a/2)]/[(a√3)/2] = (√3)/3

Tablice: trygonometria — obliczenie funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym 45°, 45° i 90°.

Tablice: trygonometria - jak obliczyć sinus, cosinus, tangens i cotangens w przypadku trójkąta prostokątnego o kątach 45°,45° i 90°? Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°, zatem w przypadku podanych wyżej wartości kątów, mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym równoramiennym. Dwa trójkąty prostokątne równoramienne możemy otrzymać w wyniku podziału kwadratu wzdłuż jego przekątnej. Gdy skorzystamy ze wzoru na obliczenie przekątnej kwadratu, otrzymamy długość przeciwprostokątnej dla trójkąta prostokątnego równoramiennego o kątach wewnętrznych 45°, 45° i 90°. Wzór na przekątną kwadratu to a√2, gdzie a to długość boku kwadratu. Jak obliczyć funkcje trygonometryczne dla kąta 45°? Poniżej obliczenia: 

• sin kąta 45° = [a/(a√2)] = √2/2
• cos kąta 45° = [a/(a√2)] = √2/2
• tg kąta 45° = a/a = 1
• ctg kąta 45° = a/a = 1

Jak widać z powyższych obliczeń, w przypadku kąta 45°, wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych powtarzają się, zgodnie z następującym schematem:

• sin kąta 45° = cos kąta 45°
• tg kąta 45° = ctg kąta 45°

Zobacz też: Liczby pierwsze to jedno z podstawowych zagadnień matematycznych. Czym się wyróżniają?